Question

【題目】如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，點(diǎn)P是圓弧CD上的一動(dòng)點(diǎn)（不與C，D重合），點(diǎn)Q是圓弧AB的中點(diǎn)，且點(diǎn)P，Q在平面ABCD的兩側(cè)．

（1）證明：平面PAD⊥平面PBC；

（2）設(shè)點(diǎn)P在平面ABQ上的射影為點(diǎn)O，點(diǎn)E，F分別是△PQB和△POA的重心，當(dāng)三棱錐P﹣ABC體積最大時(shí)，回答下列問題．

（i）證明：EF∥平面PAQ；

（ii）求平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（i）見解析（ii）．

【解析】

（1）證明AD⊥PC， PC⊥PD，得到PC⊥平面PAD，得到證明.

（2）連接PE并延長(zhǎng)交BQ于點(diǎn)M，連接PF并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)N，連接MN，證明EF∥AQ得到答案；以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面PAB的法向量，平面PCD的法向量，計(jì)算夾角得到答案.

（1）證明：因?yàn)?/span>ABCD是軸截面，所以AD⊥平面PCD，所以AD⊥PC，

又點(diǎn)P是圓弧CD上的一動(dòng)點(diǎn)（不與C，D重合），且CD為直徑，所以PC⊥PD，

又AD∩PD＝D，PD平面PAD，AD平面PAD，所以PC⊥平面PAD，

PC平面PBC，故平面PAD⊥平面PBC；

（2）當(dāng)三棱錐P﹣ABC體積最大時(shí)，點(diǎn)P為圓弧CD的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)O為圓弧AB的中點(diǎn)，所以四邊形AQBO為正方形，且OP⊥AB，

（i）證明：連接PE并延長(zhǎng)交BQ于點(diǎn)M，連接PF并延長(zhǎng)交OA于點(diǎn)N，連接MN，

則MN∥AQ，因?yàn)?/span>E，F分別為三角形的重心，所以EF∥MN，

所以EF∥AQ，又AQ平面PAQ，EF平面PAQ，所以EF∥平面PAQ；

（ii）以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則P（0，0，2），A（，0，0），B（0，，0），

，，

設(shè)平面PAB的法向量\，則，

可取，又平面PCD的法向量，

所以cos，

所以平面PAB與平面PCD所成二面角的正弦值為．