Question

（2011•武進區模擬）如圖，正方形ABDE與等邊△ABC所在平面互相垂直，AB=2，F為BD中點，G為CE中點．
（1）求證：FG∥平面ABC；
（2）求三棱錐F-AEC的體積．

Answer 1

分析：（1）由題意，可取AC中點H，連GH，BH，證明BFGH為平行四邊形，由此得FG∥BH，再由線面平行的判定定理得出線面平行；
（2）由圖及題設條件，可先根據（1）的結論得出FG垂直EA，再在三角形FEC中證明FG垂直于EC，由此可得FG即是三棱錐F-AEC底面AEC上的高，又底面AEC的面積易求，由體積公式求值即可

解答：（1）證：取AC中點H，連GH，BH（1分）
∵G為CE中點，∴GH

∥ .

.

1

2

EA
又F為BD中點，ABDE為正方形，∴BF

∥ .

.

1

2

EA
∴BFGH為平行四邊形∴FG∥BH（6分）
又BH?面ABC，FG?面ABC∴FG∥平面ABC（8分）
（2）解：∵面ABC⊥面ABDE于AB，EA⊥AB，EA?面ABDE
∴EA⊥面ABC，
∴GH⊥面ABC∴GH⊥BH（10分）
又BH⊥AC，AC∩HG=H∴BH⊥面AEC
∴FG⊥面ACE（12分）
∴VF-AEC=

1

3

S△ACE•FG=

1

3

•

1

2

•2•2•

3

2

×2=

2

3

3

（14分）

點評：本題考查了線面平行的證明，棱錐的體積公式求體積，線面垂直的證明，點線面距離的求法，涉及到的關系較多，熟練掌握空間中點線面位置關系的判斷方法及相關的定義定理是解題的關鍵，本題考查了判斷推理的能力，組織材料進行證明的能力，及空間想像能力，是立體幾何中經典題的經典證法