Question

設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充要條件是．

 

Answer 1

證明見解析

【解析】

試題分析：要解決這個(gè)問題,首先要分清楚必要性和充分性.

由數(shù)列的前項(xiàng)和為，，,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 ．

說明:“數(shù)列是公比為的等比數(shù)列”的必要條件是：“”

由“數(shù)列的前項(xiàng)和”“數(shù)列是等比數(shù)列”

說明“數(shù)列是公比為的等比數(shù)列”的充分條件是：“”

前者其實(shí)就是等比數(shù)列前項(xiàng)和公式推導(dǎo)過程的一部分；后者由求出的表達(dá)式 ，再緊扣等比數(shù)列的定義得出結(jié)論.

試題解析：證明：(1)必要性：

∵數(shù)列是公比為的等比數(shù)列

∴

① 2分

①式兩邊同乘，得

② 4分

①-②，得

6分

∵

∴ 7分

(2)充分性：

由，得 8分

∴

即 10分

∵也適合上式

∴ 12分

∵

∴當(dāng)時(shí)，

∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列 14分

考點(diǎn)：1、充要條件的概念；2、等比數(shù)列的定義；3、在數(shù)列中 與的關(guān)系.