Question

已知：O為坐標原點，點F、T、M、P₁滿足

OF

=(1，0)，

OT

=(-1，t)，

FM

=

MT

，

p1M

⊥

FT

，

p1M

⊥

FT

，

P1T

∥

OF

．
（1）當t變化時，求點P₁的軌跡C；
（2）若P₂是軌跡C上不同于P₁的另一點，且存在非零實數λ，使得

FP1

=λ•

FP2

，求證：

1

| FP1 |

+

1

| FP2 |

=1．

Answer 1

分析：（1）設P1（x，y），根據題設的條件建立關于點P₁的坐標x，y的等式．
（2）設過P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂） 兩點的直線P₁P₂的方程為：y=k（x-1）代入y²=4x得到關于x的一元二次方程，利用根系關系得到x的一元二次方程，利用根系關系得到兩根之和與兩根之差．解出兩線段長度的倒數和，解得其值為定值．

解答：解：（1）設P₁（x，y），則由：

FM

=

MT

得M是線段FT的中點，得M（0，

1

2

）
∴

P1M

=（-x，

1

2

-y）
又∵

FT

=

OT

 -

OF

=（-2，t），

P1T

=（-1-x，t-y）
∵

P1M

⊥

FT

∴2x+t（

t

2

-y）=0  ①
∵

P1T

_∥

OF

∴（-1-x）•0+（t-y）•1=0化簡得：t=y  ②
由①、②得：y²=4x
這里用了參數方程的思想求軌跡方程；②也可以利用向量的幾何意義，利用拋物線的定義判斷軌跡為拋物線，從而求解．）
（2）易知F（1，0）是拋物線y²=4x的焦點，由

FP1

=λ•

FP2

，
得（x₁，y₁），P₂（x₂
設過P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂） 兩點的直線P₁P₂的方程為：y=k（x-1）代入y²=4x
得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
則x₁x₂=1，x₁+x₂=

2k2+4

k2

∴

1

|FP1|

+

1

FP2

₌

1

x1+1

+

1

x2+1

=

x1+x2+1

x1x2+(x1+x2)+1

=1．

點評：考查用參數法求軌跡方程與直線與圓的位置關系，本題兩個題運算量都較大，解題過程較長，要嚴謹做題．