Question

已知函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）•f（y）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y總成立，且f（1）≠f（2），求證：f（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用類問題．在解答時(shí)：在抽象表達(dá)式中令x=y=0代入表達(dá)式，討論f（0）=0不成立，可得f（0）=1，再在抽象表達(dá)式中令x=0，y不動(dòng)，結(jié)合f（0）=1即可獲得f（-y）與f（y）之間的關(guān)系，從而獲得函數(shù)的奇偶性．

解答： 證明：令x=y=0則有f（0）+f（0）=2f（0）f（0）
即2f（0）=f（0）f（0），
若f（0）=0，則令y=0，即有f（x）+f（x）=2f（x）f（0）=0，
即有f（x）=0，這與f（1）≠f（2）矛盾．
故f（0）≠0，
所以f（0）=1．
令x=0，則有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），
∴f（-y）=f（y），
所以y=f（x）是偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用類問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了抽象表達(dá)式的應(yīng)用能力、特值的問題處理技巧以及必要的計(jì)算能力．同時(shí)函數(shù)的奇偶性定義也在題目中得到了體現(xiàn)．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．