Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當x≥1時，f（x）≤ 恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解： f（x）的定義域為（0，+∞）， ，

若a≤0，則f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

若a＞0，則由f′（x）=0，得x= ，

當x∈（0， ）時，f′（x）＞0，

當x∈（ ）時，f′（x）＜0，

∴f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）單調遞減．

所以當a≤0時，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，

當a＞0時，f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）單調遞減．

（2）

解：f（x）﹣ = ，

令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），

g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，

，

①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）遞增，

g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，

∴g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0，

從而f（x）﹣ 不符合題意．

②若0＜a＜ ，當x∈（1， ），F′（x）＞0，

∴g′（x）在（1， ）遞增，

從而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，

∴g（x）在[1，+∞）遞增，g（x）≥g（1）=0，

從而f（x）﹣ 不符合題意．

③若a ，F′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，

∴g′（x）在[1，+∞）遞減，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，

從而g9x）在[1，+∞）遞減，

∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣ ≤0，

綜上所述，a的取值范圍是[ ）．

【解析】（1）f（x）的定義域為（0，+∞）， ，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增；若a＞0時，f（x）在（0， ）上單調遞增，在（ ，+∞）單調遞減．（2）f（x）﹣ = ，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax， ，由此進行分類討論，能求出實數a的取值范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．