Question

下列命題：
①函數y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函數；
②若函數f（x）在[a，b]上滿足f（a）f（b）＜0，函數f（x）在（a，b）上至少有一個零點；
③數列{a_n}為等差數列，設數列{a_n}的前n項和為S_n，S₁₀＞0，S₁₁＜0，S_n最大值為S₅；
④在△ABC中，A＞B的充要條件是cos2A＜cos2B；
⑤在線性回歸分析中，線性相關系數越大，說明兩個量線性相關性就越強．
其中正確命題的序號是

 

（把所有正確命題的序號都寫上）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①不正確，取x=

π

3

，

π

6

+2π，即可判斷出；
②利用函數零點判定定理即可判斷出；
③由S₁₀＞0，S₁₁＜0，可得

10(a1+a10)

2

=5（a₆+a₅）＞0，

11(a1+a11)

2

=11a₆＜0，可得a₆＜0，a₅＞0．即可得出S_n最大值為S₅；
④在△ABC中，cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin（A+B）sin（B-A）＜0?A＞B；
⑤利用線性相關系數與線性相關性的關系即可判斷出．

解答： 解：①函數y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函數，不正確，取x=

π

3

，

π

6

+2π，但是sin

π

3

＞sin(

π

6

+2π)，tan

π

3

＞tan(

π

6

+2π)，因此不是單調遞增函數；
②若函數f（x）在[a，b]上滿足f（a）f（b）＜0，函數f（x）在（a，b）上至少有一個零點，正確；
③數列{a_n}為等差數列，設數列{a_n}的前n項和為S_n，S₁₀＞0，S₁₁＜0，∴

10(a1+a10)

2

=5（a₆+a₅）＞0，

11(a1+a11)

2

=11a₆＜0，
∴a₅+a₆＞0，a₆＜0，∴a₅＞0．因此S_n最大值為S₅，正確；
④在△ABC中，cos2A-cos2B=-2sin（A+B）sin（A-B）=2sin（A+B）sin（B-A）＜0?A＞B，因此正確；
⑤在線性回歸分析中，線性相關系數越大，說明兩個量線性相關性就越強，正確．
其中正確命題的序號是 ②③④⑤．

點評：本題綜合考查了三角函數的單調性、函數零點存在判定定理、等差數列的性質、兩角和差化積公式、線性回歸分析，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．