Question

某校開設8門校本課程，其中4門課程為人文科學，4門為自然科學，學校要求學生    在高中三年內從中選修3門課程，假設學生選修每門課程的機會均等．
（1）求某同學至少選修1門自然科學課程的概率；
（2）已知某同學所選修的3門課程中有1門人文科學，2門自然科學，若該同學通過人文科學課程的概率都是

4

5

，自然科學課程的概率都是

3

4

，且各門課程通過與否相互獨立．用ξ表示該同學所選的3門課程通過的門數，求隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統計

分析：（1）記“某同學至少選修1門自然科學課程”為事件A，由對立事件概率計算公式能求出該同學至少選修1門自然科學課程的概率．
（2）隨機變量ξ的所有可能取值有0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量ξ的概率分布列和數學期望．

解答： 解：（1）記“某同學至少選修1門自然科學課程”為事件A，
則P(A)=1-

C 3 4

C 3 8

=1-

1

14

=

13

14

，…（2分）
所以該同學至少選修1門自然科學課程的概率為

13

14

．…（3分）
（2）隨機變量ξ的所有可能取值有0，1，2，3．…（4分）
因為P(ξ=0)=

1

5

×(

1

4

)2=

1

80

，P(ξ=1)=

4

5

×(

1

4

)2+

1

5

×

C

1 2

×

1

4

×

3

4

=

1

8

，P(ξ=2)=

4

5

×

C

1 2

×

1

4

×

3

4

+

1

5

×(

3

4

)2=

33

80

，P(ζ=3)=

4

5

×(

3

4

)2=

9

20

，…（8分）
所以ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	1 80	1 8	33 80	9 20

所以E(ξ)=0×

1

80

+1×

10

80

+2×

33

80

+3×

36

80

=2.3．…（10分）

點評：本題主要考查概率、隨機變量分布列以及數學期望等基礎知識，考查運用概率統計知識解決簡單實際問題的能力，考查數據處理能力．