Question

【題目】已知函數f（x）=px﹣ ﹣2lnx．
（Ⅰ）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求正實數p的取值范圍；
（Ⅲ）設函數g（x）= （e為自然對數底數），若在[1，e]上至少存在一點x0 ， 使得f（x0）＞g（x0）成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（I）當p=2時，函數f（x）=2x﹣ ﹣2lnx，f（1）=2﹣2﹣2ln1=0，

f′（x）=2+ ﹣ ，

曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2﹣2=2．

從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣0=2（x﹣1）

即y=2x﹣2．

（II）f′（x）=p+ ﹣ = ，

令h（x）=px2﹣2x+p，

要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，

只需h（x）≥0在（0，+∞）內恒成立，

由題意p＞0，h（x）=px2﹣2x+p的圖象為開口向上的拋物線，

對稱軸方程為x= ∈（0，+∞），

∴h（x）min=p﹣ ，只需p﹣ ≥0，

即p≥1時，h（x）≥0，f'（x）≥0

∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，正實數p的取值范圍是[1，+∞）．

（III）∵g（x）= 在[1，e]上是減函數，

∴x=e時，g（x）min=2；x=1時，g（x）max=2e，

即g（x）∈[2，2e]，

當p＜0時，h（x）=px2﹣2x+p，其圖象為開口向下的拋物線，

對稱軸x= 在y軸的左側，且h（0）＜0，

所以f（x）在x∈[1，e]內是減函數．

當p=0時，h（x）=﹣2x，因為x∈[1，e]，所以h（x）＜0，

f′（x）=﹣ ＜0，此時，f（x）在x∈[1，e]內是減函數．

∴當p≤0時，f（x）在[1，e]上單調遞減f（x）max=f（1）=0＜2，不合題意；

當0＜p＜1時，由x∈[1，e]x﹣ ≥0，所以f（x）=p（x﹣ ）﹣2lnx≤x﹣ ﹣2lnx．

又由（2）知當p=1時，f（x）在[1，e]上是增函數，

∴x﹣ ﹣2lnx≤e﹣ ﹣2lne=e﹣ ﹣2＜2，不合題意；

當p≥1時，由（2）知f（x）在[1，e]上是增函數，

f（1）=0＜2，又g（x）在[1，e]上是減函數，

故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，

而f（x）max=f（e）=p（e﹣ ）﹣2lne，g（x）min=2，

即p（e﹣ ）﹣2lne＞2，解得p＞ ，

綜上所述，實數p的取值范圍是（ ，+∞）

【解析】（I）求出函數在x=1處的值，求出導函數，求出導函數在x=1處的值即切線的斜率，利用點斜式求出切線的方程．（II）求出函數的導函數，令導函數大于等于0恒成立，構造函數，求出二次函數的對稱軸，求出二次函數的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范圍．（III）通過g（x）的單調性，求出g（x）的最小值，通過對p的討論，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范圍．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．