Question

（2013•資陽二模）在銳角三角形ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且

3

a-2csinA=0．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若c=2，求a+b的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化簡已知的等式，根據sinA不為0求出sinC的值，由三角形為銳角三角形，利用特殊角的三角函數值即可求出C的度數；
（Ⅱ）由c與cosC的值，利用余弦定理列出關系式，再利用完全平方公式變形，利用基本不等式即可求出a+b的最大值．

解答：解：（Ⅰ）由

3

a-2csinA=0，及正弦定理，得

3

sinA-2sinCsinA=0，
∵sinA≠0，
∴sinC=

3

2

，
∵△ABC是銳角三角形，
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）∵c=2，C=

π

3

，∴由余弦定理得：a²+b²-2abcos

π

3

=4，即a²+b²-ab=4，
∴（a+b）²=4+3ab≤4+3•（

a+b

2

）²，即（a+b）²≤16，
∴a+b≤4，當且僅當a=b=2取“=”，
則a+b的最大值是4．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運用，熟練掌握正弦、余弦定理是解本題的關鍵．