Question

（本小題滿分12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為離心率，點在且橢圓E上，
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設過點且不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求點橫坐標的取值范圍.
（Ⅲ）試用表示的面積，并求面積的最大值

Answer 1

解：（Ⅰ）,
橢圓E的方程為                    -------------------4分
（Ⅱ）設直線AB的方程為y=k(x-1)(k≠0),
代入+y²=1,整理得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0.
∵直線AB過橢圓的右焦點,
∴方程有兩個不等實根.
記A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),AB中點N(x₀,y₀),則x₁+x₁=
             ---------------6分
 AB垂直平分線NG的方程為 令y=0，得
     ----------------8分
∵              ∴的取值范圍為.  -------10分

所以，當時，有最大值．
所以，當時，△的面積有最大值．-------------------14分

略