Question

【題目】已知含有個元素的正整數集（， ）具有性質：對任意不大于（其中）的正整數，存在數集的一個子集，使得該子集所有元素的和等于．

（Ⅰ）寫出， 的值；

（Ⅱ）證明：“， ，…， 成等差數列”的充要條件是“”；

（Ⅲ）若，求當取最小值時的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）， ；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ） ．

【解析】試題分析: （Ⅰ）由為正整數,則， .， ,即可求得， . （Ⅱ）先證必要性：由， ，…， 成等差數列，故，由等差數列的求和公式得: ；再證充分性：由，故（， ，…， ），故， ，…， 為等差數列．（Ⅲ）先證明（， ，…， ）,因此，即，所以．由集合的性質,分類,即可求得當取最小值11時， 的最大值為．

試題解析:（Ⅰ）， .

（Ⅱ）先證必要性：

因為， ，又， ，…， 成等差數列，故，所以；

再證充分性：

因為， ， ，…， 為正整數數列，故有

， ， ， ，…， ，

所以，

又，故（， ，…， ），故， ，…， 為等差數列．

（Ⅲ）先證明（， ，…， ）．

假設存在，且為最小的正整數．

依題意，則 ，，又因為，

故當時， 不能等于集合的任何一個子集所有元素的和．

故假設不成立，即（， ，…， ）成立．

因此，

即，所以．　

因為，則，

若時，則當時，集合中不可能存在若干不同元素的和為，

故，即.

此時可構造集合.

因為當時， 可以等于集合中若干個元素的和；

故當時， 可以等于集合中若干不同元素的和；

……

故當時， 可以等于集合中若干不同元素的和；

故當時， 可以等于集合中若干不同元素的和；

故當時， 可以等于集合中若干不同元素的和，

所以集合滿足題設，

所以當取最小值11時， 的最大值為．