Question

【題目】設常數，函數.

（1）令時，求的最小值，并比較的最小值與零的大小；

（2）求證：在上是增函數；

（3）求證：當時，恒有.

Answer 1

【答案】（1）最小值為，最小值大于零.（2）證明見解析.（3）證明見解析

【解析】

（1）對函數進行求導，確定函數的解析式，再對函數求導，列表判斷出該函數的單調性以及極值，最后確定函數的最小值，再判斷的最小值與零的大小即可；

（2）利用（1）中的結論，可以判斷出函數的正負性，進而能證明出的單調性；

（3）利用（2）中的結論進行證明即可.

（1）因為，

所以.

所以，

所以，令，得.

列表如下：

		2
		0
	減	極小值	增

所以在處取得極小值，

即的最小值為，

因為，所以，

又，所以即的最小值大于零.

（2）由（1）知，的最小值為正數，

所以對一切，恒有.

從而當時，恒有，故在上是增函數.

（3）由（2）知在上是增函數，

所以當時，.

又，

所以，即，

所以，

故當時，恒有.