Question

【題目】已知函數， .

（1）求函數在點點處的切線方程；

（2）當時，求函數的極值點和極值；

（3）當時， 恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）;（2）的極大值，函數無極小值;（3）.

【解析】試題分析：1）求出導函數，求解切線的斜率f′（1）=1﹣a，然后求解切線方程；

（2）求出函數的極值點，判斷函數的單調性，求解函數的極值即可；

（3）令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1）（x≥1），求出導函數g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，求出，通過若a≤0，若，若，分別判斷函數的符號函數的單調性，求解函數的最值，然后求解a的取值范圍．

試題解析：

（1）由題，所以，

所以切線方程為：

（2）由題時， ，所以

所以； ，

所以在單增，在單減，所以在取得極大值.

所以函數的極大值，函數無極小值

（3），令，

，令，

（1）若， ， 在遞增，

∴在遞增， ，從而，不符合題意

（2）若，當， ，∴在遞增，

從而，以下論證同（1）一樣，所以不符合題意

（3）若， 在恒成立，

∴在遞減， ，

從而在遞減，∴， ，

綜上所述， 的取值范圍是.