Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AB⊥平面BCP，CD∥平面ABP，AB=BC=CP=BP=2CD=2
（1）證明：平面ABP⊥平面ADP；
（2）若直線PA與平面PCD所成角為α，求sinα的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取AP的中點E，PB的中點F，連結DE，EF，CF，

則EF AB，

∵CD∥平面ABP，CD平面ABCD，平面ABCD∩平面ABP=AB，

∴CD∥AB，又CD= AB，

∴EF CD，

∴四邊形DEFC是平行四邊形，∴CF∥DE，

∵AB⊥平面BCP，CF平面BCP，

∴AB⊥CF，

∵BC=CP=BP，

∴CF⊥PB，又PB∩AB=B，

∴CF⊥平面ABP，

∴DE⊥平面ABP，又DE平面ADP，

∴平面ABP⊥平面ADP．

（2））解：過P作PP′∥AB，使得PP′=2，延長CD到C′，使得CC′=2，連結AC′，AP′，C′P′，

則直三棱柱PBC﹣P′AC′所有棱長均為2，

取P′C′的中點M，連結AM，則AM⊥平面PCC′P′，

∴∠APM是直線AP與平面PCD所成的角，即∠APM=α，

∵AM= = ，PA= =2 ，

∴sinα=sin∠APM= = = ．

【解析】（1）取AP的中點E，PB的中點F，連結DE，EF，CF，利用平行四邊形得出DE∥CF，通過證明CF⊥平面APB得出DE⊥平面PAB，于是平面ABP⊥平面ADP；（2）將幾何體補成直三棱柱，作出線面角，從而可求出sinα的值．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平面與平面垂直的判定的相關知識，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直，以及對空間角的異面直線所成的角的理解，了解已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則．