Question

【題目】已知定義在R上的函數f（x）滿足:對任意都有，且當x>0時，．

（1）求的值，并證明為奇函數；

（2）判斷函數的單調性，并證明；

（3）若對任意恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；證明詳見解析（2）是增函數，證明詳見解析；（3）.

【解析】

（1）用賦值法，結合奇函數的定義進行求解證明即可；

（2）運用單調性的定義，結合已知進行判斷證明即可；

（3）運用函數的單調性和奇函數的性質，結合常變量分離法、換元法、構造函數法進行求解即可.

（1） 令 ，得 ，

所以 ．

證明：令 ，得 ，

所以，

所以為奇函數；

（2）設x2>x1，所以.

由，

因為當x>0時，，所以，

∴是增函數；

（3） 由題知：，

又 是定義在上的增函數，

所以 對任意 恒成立，

所以 ，

所以 ，

令 ，，則 ，

所以 ，

當 時，，

所以 ．