Question

在整數集Z中，被4除所得余數為k的所有整數組成一個“類”，記為[k]={4n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，則下列結論正確的為

 

①2014∈[2]；
②-1∈[3]；
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]；
④命題“整數a，b滿足a∈[1]，b∈[2]，則a+b∈[3]”的原命題與逆命題都正確；
⑤“整數a，b屬于同一類”的充要條件是“a-b∈[0]”

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用

專題：集合

分析：依據“類”的定義直接判斷，即若整數除以4的余數是k，該整數就屬于類[k]．

解答： 解：由類的定義[k]={4n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，可知，只要整數m=4n+k，n∈Z，k=0，1，2，3，則m∈[k]．
對于①2014=4×503+2，∴2014∈[2]，故①符合題意；
對于②-1=4×（-1）+3，∴-1∈[3]，故②符合題意；
對于③所有的整數按被4除所得的余數分成四類，即余數分別是0，1，2，3的整數，即四“類”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故③符合題意；
對于④原命題成立，但逆命題不成立，∵若a+b∈[3]，不妨取a=0，b=3，則此時a∉[1]且b∉[1]，∴逆命題不成立，∴④不符合題意；
對于⑤∵“整數a，b屬于同一類”不妨令a=4m+k，b=4n+k，m，n∈Z，且k=0，1，2，3，則a-b=4（m-n）+0，∴a-b∈[0]；
反之，不妨令a=4m+k₁，b=4n+k₂，則a-b=4（m-n）+（k₁-k₂），若a-b∈[0]，則k₁-k₂=0，即k₁=k₂，所以整數a，b屬于同一類．故整數a，b屬于同一類”的充要條件是“a-b∈[0]．故⑤符合題意．
故答案為①②③⑤

點評：這是一個新定義問題，難度不大，關鍵是正確理解“類”的定義，并且恰當的將已知條件要判斷的結論準確表達出來．