【題目】已知橢圓
的離心率為
，以
為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）已知點
，和平面內一點
，過點
任作直線
與橢圓
相交于
兩點，設直線
的斜率分別為
，
，試求
滿足的關系式.
【答案】（1）
；（2）
【解析】
試題分析：（1）因為離心率
，所以
，又以
為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切，所以
，再結合
，求得
，
，即求得橢圓
標準方程；
（2）①當直線斜率不存在時，直線
，直線
與橢圓的交點
，
，所以
，又
，所以
，所以
的關系式為.②當直線的斜率存在時，設點
，設直線
，聯立橢圓整理得：
，根系關系略，所以
化簡得
，結合韋達定理得，所以，所以的關系式為.
試題解析：（1）因為離心率，所以，
又因為以為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切，
所以，即
因為，
所以
所以橢圓標準方程；
（2）①當直線斜率不存在時，由
，解得
，不妨設，，
因為，所以，所以的關系式為.
②當直線的斜率存在時，設點，設直線，聯立橢圓整理得：，根系關系略，所以
所以，所以的關系式為.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于
的二次函數
.
（1）設集合
和
，分別從集合
和
中隨機取一個數作為
和
，求函數
在區間
上是增函數的概率；
（2）設點
是區域
內的隨機點，記事件“函數
有兩個零點，其中一個大于1，另一個小于1”為事件
，求事件
發生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知方程
．
（1）求該方程表示一條直線的條件；
（2）當
為何實數時，方程表示的直線斜率不存在？求出這時的直線方程；
（3）已知方程表示的直線
在
軸上的截距為-3，求實數
的值；
（4）若方程表示的直線
的傾斜角是45°，求實數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數
是定義在
上的函數，并且滿足下面三個條件：①對任意正數
，都有
；②當
時， 
；③
.
（1）求
， 
的值；
（2）證明
在
上是減函數；
（3）如果不等式
成立，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】根據某電子商務平臺的調查統計顯示，參與調查的
位上網購物者的年齡情況如右圖．
（1）已知
、
、
三個年齡段的上網購物者人數成等差數列，求
的值；
（2）該電子商務平臺將年齡在
之間的人群定義為高消費人群，其他的年齡段定義為潛在消費人群，為了鼓勵潛在消費人群的消費，該平臺決定發放代金券，高消費人群每人發放
元的代金券，潛在消費人群每人發放
元的代金券．已經采用分層抽樣的方式從參與調查的位上網購物者中抽取了
人，現在要在這人中隨機抽取
人進行回訪，求此三人獲得代金券總和
的分布列與數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在一次國際學術會議上，來自四個國家的五位代表被安排坐在一張圓桌，為了使他們能夠自由交談，事先了解到的情況如下：
甲是中國人，還會說英語．
乙是法國人，還會說日語．
丙是英國人，還會說法語．
丁是日本人，還會說漢語．
戊是法國人，還會說德語．
則這五位代表的座位順序應為（ ）
A. 甲丙丁戊乙 B. 甲丁丙乙戊
C. 甲乙丙丁戊 D. 甲丙戊乙丁
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