Question

過雙曲線E：（b＞a＞0）的左頂點A作斜率為1的直線l，若l與雙曲線E的兩條漸近線相交于B，C兩點，且|AB|=|BC|，則雙曲線E的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據條件求出直線l的方程，聯立直線方程與漸近線方程分別求出點B，C的橫坐標，結合B為AC的中點求出b，a間的關系，進而求出雙曲線的離心率．
解答：解：由題得：雙曲線：的左頂點A（a，0）
所以所作斜率為1的直線l：y=x+a，
若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
聯立其中一條漸近線y=-x，則，解得x₁=①；
同理聯立，解得x₂=  ②；
又因為|AB|=|BC|，
故B是A，C的中點，
∴x₁=⇒2x₁=x₂+a，
把①②代入整理得：b=3a，
∴e====．
故答案為；   ．
點評：本題考題雙曲線性質的綜合運用，解題過程中要注意由|AB|=|BC|得到B是A，C的中點這以結論的運用．