Question

（1）已知數列，其中，且數列為等比數列，求常數p；
（2）設、是公比不相等的兩個等比數列，，證明：數列不是等比數列.

Answer 1

（1）p=2或p=3.   （2）證明略

本試題主要是考查了等比數列的概念的運用。
（1）第一問中，利用給定的等比數列，結合定義得到p的值
（2）根據設、是公比不相等的兩個等比數列，，那么可驗證前幾項是否是等比數列來判定結論
（1）解：因為｛c_n＋1－pc_n｝是等比數列，
故有：（c_n＋1－pc_n）²＝（c_n＋2－pc_n＋1）（c_n－pc_n－1），將c_n＝2ⁿ＋3ⁿ代入上式，得：
［2^n＋1＋3^n＋1－p（2ⁿ＋3ⁿ）］²＝［2^n＋2＋3^n＋2－p（2^n＋1＋3^n＋1）］·［2ⁿ＋3ⁿ－p（2^n－1＋3^n－1）］，
即［（2－p）2ⁿ＋（3－p）3ⁿ］²
＝［（2－p）2^n＋1＋（3－p）3^n＋1］［（2－p）2^n－1＋（3－p）3^n－1］，
整理得（2－p）（3－p）·2ⁿ·3ⁿ＝0，解得p=2或p=3.
（2）證明：設｛a_n｝、｛b_n｝的公比分別為p、q，p≠q，c_n=a_n+b_n.
為證｛c_n｝不是等比數列只需證c₂²≠c₁·c₃.
事實上，c₂²＝（a₁p＋b₁q）²＝a₁²p²＋b₁²q²＋2a₁b₁pq，
c₁·c₃＝（a₁＋b₁）（a₁p²＋b₁q²）＝a₁²p²＋b₁²q²＋a₁b₁（p²＋q²），
由于p≠q，p²＋q²＞2pq，又a₁、b₁不為零，因此c₂²≠c₁·c₃，故｛c_n｝不是等比數列.