Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ABC=90°，AB=a，BC=b，BB₁=c，M、N分別是B₁C₁和AC的中點，求直線MN與底面ABC的夾角的正弦值（或余弦值）．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面ABC的法向量，與

MN

夾角的余弦值（正弦值）的絕對值為直線MN與底面ABC的夾角的正弦值（或余弦值）．

解答： 解：由題意分別以BA，BC，BB₁所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則平面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，c），M（0，

b

2

，c），N（

a

2

，

b

2

，0），所以

MN

=(

a

2

，0，-c)，
cos＜

m

，

MN

＞=

-c2

c× a2 4 +c2

=

-2c

a2+4c2

，
所以直線MN與底面ABC的夾角的正弦值為

2c

a2+4c2

．

點評：本題考查了利用空間向量求線面角的三角函數(shù)值，體現(xiàn)了向量的工具性，屬于中檔題．