Question

某企業科研課題組計劃投資研發一種新產品，根據分析和預測，能獲得10萬元～1000萬元的投資收益．企業擬制定方案對課題組進行獎勵，獎勵方案為：獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金也不超過投資收益的20%，并用函數y=f（x）這一模型模擬獎勵方案．
（Ⅰ）試用模擬函數y=f（x）的性質表述獎勵方案；
（Ⅱ）試分析下列兩個函數模型是否符合獎勵方案的要求？說明你的理由．（1）y=

x

120

+1； （2）y=4lgx-3．

Answer 1

考點：根據實際問題選擇函數類型

專題：應用題,函數的性質及應用

分析：（Ⅰ）設獎勵函數模型為y=f（x），根據“獎金y（單位：萬元）隨投資收益x（單位：萬元）的增加而增加，說明在定義域上是增函數，且獎金不超過9萬元，即f（x）≤9，同時獎金不超過投資收益的20%．即f(x)≤

x

5

．
（Ⅱ）根據（I）去判斷，（1）對于函數模型f(x)=

x

120

+1，由一次函數的性質研究f（x）≤9不成立．
（2）對于函數模型f（x）=4lgx-3，由對數函數的性質研究．

解答： 解：（Ⅰ）該獎勵方案對函數模型的基本要求是：
①當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數； ②f（x）≤9恒成立；③f(x)≤

x

5

恒成立．…（3分）
（Ⅱ）對于函數模型f(x)=

x

120

+1：
當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數，
則f(x)max=f(1000)=

1000

120

+1=

25

3

+1＞9，所以f（x）≤9不成立．
故該函數模型不符合要求．  …（6分）
對于函數模型f（x）=4lgx-3：
當x∈[10，1000]時，f（x）是增函數，則f（x）_max=f（1000）=4lg1000-3=9．
所以f（x）≤9恒成立．      …（9分）
設g(x)=4lgx-3-

x

5

，則g′(x)=

4lge

x

-

1

5

．
當x≥10時，g′(x)=

4lge

x

-

1

5

≤

2lge-1

5

=

lge2-1

5

＜0，
所以g（x）在[10，1000]上是減函數，從而g（x）≤g（10）=-1＜0．
所以4lgx-3-

x

5

＜0，即4lgx-3＜

x

5

，所以f(x)＜

x

5

恒成立．
故該函數模型符合要求．
因此，兩個函數中只有第二個函數符合獎勵方案要求．…（12分）

點評：本題主要考查函數模型的選擇，其實質是考查函數的基本性質，同時，確定函數關系實質就是將文字語言轉化為數學符號語言--數學化，再用數學方法定量計算得出所要求的結果，關鍵是理解題意，將變量的實際意義符號化．