Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求的圖象在處的切線方程；

（2）若函數在上有兩個零點，求實數m的取值范圍；

（3）若對區間內任意兩個不等的實數，，不等式恒成立，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）求出函數的導數,利用導數的幾何意義即可求出函數在處的切線方程

（2）先通過求導,研究函數的單調性,然后利用函數在上有兩個零點可得直線與的圖像有兩個交點，從而得到，求解即可

（3）不妨設，恒成立等價于，化簡為，然后，令，然后判斷的單調性即可求解

（1）當時，，，切點坐標為，

切線的斜率，則切線方程為，即.

（2），則，

，故時，.

當時，；

當時，.

故在處取得極大值.

又，，，則，

在上的最小值是.

在上有兩個零點的條件是

解得

實數m的取值范圍是

（3）不妨設，恒成立等價于，即.

令，由，具有任意性知，在區間內單調遞減，

恒成立，即恒成立，

，在上恒成立.

令，則

在上單調遞增，則，

實數a的取值范圍是