Question

【題目】已知函數f（x）=﹣x2+2kx﹣4，若對任意x∈R，f（x）﹣|x+1|﹣|x﹣1|≤0恒成立，則實數k的取值范圍是

Answer 1

【答案】[﹣3，3]
【解析】解：對任意x∈R，f（x）﹣|x+1|﹣|x﹣1|≤0恒成立， 即為2kx≤|x+1|+|x﹣1|+x2+4恒成立，
若x=0，則0≤1+1+0+4=6恒成立；
若x＞0，則2k≤x+ +|1+ |+|1﹣ |，
令g（x）=x+ +|1+ |+|1﹣ |，
當x≥1時，g（x）=x+ +1+ +|1﹣ |=2+（x+ ）≥2+2 =6，
（當且僅當x=2時，取得等號），
當0＜x＜1時，g（x）=x+ 在（0，1）遞減，可得g（x）＞7，
則x＞0時，g（x）的最小值為6，
可得2k≤6，即k≤3；
若x＜0，則2k≥x+ + ，
令h（x）=x+ + ，
當x＜﹣1時，h（x）=x+ ﹣1+ ﹣1﹣ =﹣2+（x+ ）≤﹣2﹣2 =﹣6，
（當且僅當x=﹣2時，取得等號），
當﹣1≤x＜0時，h（x）=x+ 在[﹣1，0）遞減，可得g（x）≤﹣7，
則x＜0時，g（x）的最大值為﹣6，
可得2k≥﹣6，即k≥﹣3．
綜上可得，k的范圍是[﹣3，3]．
所以答案是：[﹣3，3]．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減即可以解答此題．