Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2 （Ⅰ）如果函數g（x）的單調遞減區間為（﹣ ，1），求函數g（x）的解析式；
（Ⅱ）對一切的x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）g′（x）=3x2+2ax﹣1 由題意3x2+2ax﹣1＜0的解集是（﹣ ，1），即3x2+2ax﹣1=0的兩根分別是﹣ ，1
將x=1或﹣ 代入方程3x2+2ax﹣1=0得a=﹣1，
∴g（x）=x3﹣x2﹣x+2
（Ⅱ）由題意知，2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2在x∈（0，+∞）上恒成立
即a≥lnx﹣ ，
設h（x）=lnx﹣ ，則
令h′（x）=0，得x=1，x=﹣ （舍），當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0
∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2，．
∴a≥﹣2，即a的取值范圍是[﹣2，+∞）
【解析】（Ⅰ）根據函數的單調區間可知﹣ ，1是導函數所對應方程的兩個根，從而可求出a的值；（Ⅱ）2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2在x∈（0，+∞）上恒成立將a分離可得a≥lnx﹣ ，設h（x）=lnx﹣ ，利用導數研究h（x）的最大值，可求出a的取值范圍．
【考點精析】掌握基本求導法則和利用導數研究函數的單調性是解答本題的根本，需要知道若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導；一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．