Question

【題目】如果函數的定義域為，且存在實常數，使得對于定義域內任意，都有成立，則稱此函數具有“性質”.

（1）判斷函數是否具有“性質”，若具有“性質”，求出所有的值的集合，若不具有“性質”，請說明理由；

（2）已知函數具有“性質”，且當時，，求函數在區間上的值域；

（3）已知函數既具有“性質”，又具有“性質”，且當時，，若函數的圖像與直線有2017個公共點，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2），函數的值域為；，函數的值域為；，函數的值域為；，函數的值域為；（3）.

【解析】

（1）根據題意可知，由待定系數法可求得；

（2）由新定義可推出為偶函數，從而求出在上的解析式，討論m與的關系判斷的單調性得出的最值；
（3）根據新定義可知為周期為2的偶函數，作出的函數圖象，根據函數圖象得出p的值.

（1）假設具有“性質”，則恒成立，

等式兩邊平方整理得，，因為等式恒成立，

所以，解得，

則所有的值的集合為；

（2）因為函數具有“性質”，

所以恒成立，是偶函數.
設，則，.
①當時，函數在上遞增，值域為.
②當時，函數在上遞減，在上遞增，
，，值域為.
③當時，，，值域為.
④時，函數在上遞減，值域為.
（3）既具有“性質”，即，函數為偶函數，
又既具有“性質”，即，
函數是以2為周期的函數.
作出函數的圖象如圖所示：

由圖象可知，當時，函數與直線交于點，即有無數個交點，不合題意.
當時，在區間上，函數有1008個周期，要使函數的圖象與直線有2017個交點，
則直線與函數y=g(x)的圖像在每個周期內都應有2個交點，且第2017個交點恰好為，所以，
同理，當時，，
綜上，.