Question

【題目】已知函數f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R．
（1）當a=0時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當 時，求函數f（x）的單調區間和極值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=0時，f（x）=x2ex，f'（x）=（x2+2x）ex，故f'（1）=3e，

所以曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為3e，f（1）=e，

所以該切線方程為y﹣e=3e（x﹣1），

整理得：3ex﹣y﹣2e=0．

（2）解：解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]ex

令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由 知，﹣2a≠a﹣2．

以下分兩種情況討論．①若a＞ ，則﹣2a＜a﹣2．當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，a﹣2）	﹣2a	（﹣2a，a﹣2）	a﹣2	（a﹣2，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
F（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）內是增函數，在（﹣2a，a﹣2）內是減函數．

函數f（x）在x=﹣2a處取得極大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．函數f（x）在x=a﹣2處取得極小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2．②若a＜ ，則﹣2a＞a﹣2，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，a﹣2）	a﹣2	（a﹣2，﹣2a）	﹣2a	（﹣2a，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
F（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）內是增函數，在（a﹣2，﹣2a）內是減函數

函數f（x）在x=a﹣2處取得極大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2，

函數f（x）在x=﹣2a處取得極小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．

【解析】（1）把a=0代入到f（x）中化簡得到f（x）的解析式，求出f'（x），因為曲線的切點為（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切線的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切點坐標，根據切點和斜率寫出切線方程即可；（2）令f'（x）=0求出x的值為x=﹣2a和x=a﹣2，分兩種情況討論：①當﹣2a＜a﹣2時和②當﹣2a＞a﹣2時，討論f'（x）的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性即可得到函數的最值．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能得出正確答案．