Question

設函數.

（1）若,試求函數的單調區間；

（2）過坐標原點作曲線的切線，證明:切點的橫坐標為1；

（3）令，若函數在區間（0，1］上是減函數，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）的減區間為,增區間

（2）導數的幾何意義的運用，理解切線的斜率即為該點的導數值既可以得到求證。

（3）

【解析】

試題分析：解: （1）時,          1 分

                   3分

的減區間為,增區間                 5分

（2）設切點為，

切線的斜率，又切線過原點

           7分

滿足方程，由圖像可知

有唯一解，切點的橫坐標為1；              -8分

或者設,

,且,方程有唯一解         -9分

（3），若函數在區間（0，1］上是減函數，

則，所以---（*） 10分

若，則在遞減，

即不等式恒成立                11分

若,

在上遞增,

,即,上遞增,

這與,矛盾               13分

綜上所述,                                    14分

解法二: ，若函數在區間（0，1］上是減函數，

則，所以 10分

顯然,不等式成立

當時,恒成立            11分

設

設

在上遞增, 所以         12分

在上遞減,

所以             14分

考點：導數的運用

點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，屬于中檔題。