Question

已知函數f(x)=a-

1

|2x-b|

是偶函數，a為實常數．
（1）求b的值；
（2）當a=1時，是否存在m，n（n＞m＞0）使得函數y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，若存在，求出m，n的值，否則，說明理由；
（3）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）由已知可得，f(x)=a-

1

|2x-b|

，
且函數的定義域為D=(-∞，

b

2

)∪(

b

2

，+∞)．
又y=f（x）是偶函數，故定義域D關于原點對稱．
于是，b=0．
又對任意x∈D，有f（x）=f（-x），可得b=0．
因此所求實數b=0．…（3分）
（2）由（1）可知，f(x)=a-

1

2|x|

(D=(-∞，0)∪(0，+∞))．
由f(x)=a-

1

2|x|

的圖象，
知：f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（x）在區間（-∞，0）上是減函數
又n＞m＞0，
∴y=f（x）在區間[m，n]上是增函數．
∴有

1- 1 2m =m 1- 1 2n =n

，
即方程1-

1

2x

=x，2x²-2x+1=0，
∵△=4-8＜0，
∴不存在正實數m，n，滿足題意．…（7分）
（3）由（1）可知，
f(x)=a-

1

2|x|

(D=(-∞，0)∪(0，+∞))．f(x)=a-

1

2|x|

的圖象，
知f（x）在區間（0，+∞）上是增函數，f（x）在區間（-∞，0）上是減函數
因y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，故必有m、n同號．
①當0＜m＜n時，f（x）在區間[m，n]上是增函數，
有

a- 1 2m =m a- 1 2n =n

，
即方程x=a-

1

2x

，2x²-2ax+1=0有兩個不相等的正實數根，
因此

2a＞0 △=4a2-8＞0

，
解得a＞

2

．…（10分）
②當m＜n＜0時，f（x）在區間[m，n]上是減函數，
有

a+ 1 2m =n a+ 1 2n =m

，
化簡得（m-n）a=0，a=0
綜上，實數a的取值范圍a=0，或a＞

2

．…（12分）