Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M、N分別為PA、BC的中點(diǎn)，且PD=AD=1，
（1）求證：MN∥平面PCD；
（2）求證：平面PAC⊥平面PBD；
（3）求三棱錐P-ABC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）過M作MQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)QN，由已知得平面MQN∥平面PDC，由此能證明MN∥平面PCD．
（2）連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，由已知得AC⊥BD，AC⊥PD，從而AC⊥平面PBD，由此能證明平面PAC⊥平面PBD．
（3）由已知得PD是三棱錐P-ABC的高，S_△ABC=

1

2

S正方形ABCD=

1

2

×1×1=

1

2

，由此能求出三棱錐P-ABC的體積．

解答： （1）證明：過M作MQ⊥AD，交AD于點(diǎn)Q，連結(jié)QN，
由題意得MQ∥PD，QN∥CD，
∵M(jìn)Q∩QN=Q，
∴平面MQN∥平面PDC，
∴MN∥平面PCD．
（2）證明：連結(jié)AC，交BD于點(diǎn)O，
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面PBD．
（3）解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD是三棱錐P-ABC的高，
∵PD=AD=1，
∴S_△ABC=

1

2

S正方形ABCD=

1

2

×1×1=

1

2

，
∴三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

×S△ABC×PD=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查MN∥平面PCD的證明，考查平面PAC⊥平面PBD的證明，考查三棱錐P-ABC的體積的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．