Question

圓M的圓心在直線y=-2x上，且與直線x+y=1相切于點A（2，-1），
（1）試求圓M的方程；
（2）過原點的直線l與圓M相交于B，C兩點，且|BC|=2，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由題意知：過A（2，-1）且與直線x+y=1垂直的直線方程為：y=x-3，確定圓心與半徑，即可求圓M的方程；
（2）分兩種情況考慮：①當直線l的斜率不存在時，顯然經檢驗x=0滿足題意；②當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx，由弦長的一半及圓的半徑，利用勾股定理列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線l的方程．

解答： 解：（1）由題意知：過A（2，-1）且與直線x+y=1垂直的直線方程為：y=x-3
∵圓心在直線：y=-2x上，∴由 

y=-2x y=x-3

⇒

x=1 y=-2

，
即M（1，-2），且半徑r=|AO1|=

(2-1)2+(-1+2)2

=

2

，
∴所求圓的方程為：（x-1）²+（y+2）²=2（得圓心給2分）（6分）
（2）①當斜率不存在時，直線方程是x=0，圓心到直線的距離為1，|BC|=2所以x=0滿足題意…（9分） 
②當斜率存在時，設直線方程y=kx，
由BC=2

2-( |k+2| 1+k2 )2

=2得k=-

3

4

，
所以直線方程為y=-

3

4

x所以所求直線方程為x=0，y=-

3

4

x…（14分）

點評：此題考查了圓的切線方程，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，利用了分類討論的思想，要求學生考慮問題要全面，做到不重不漏．