Question

（2013•石家莊二模）已知球0夾在一個(gè)銳二面角a-l-β之間，與兩個(gè)半平面分別相切于點(diǎn)A、B，若AB=

3

，球心0到該二面角的棱l的距離為2，則球0的體積為（　　）

• A．8

  3

  π
• B．4

  3

  π
• C．4π
• D．

  4

  3

  π

Answer 1

分析：設(shè)O、A、B三點(diǎn)確定的平面交棱l于點(diǎn)C，連接AC、CB、OC．可得∠ACB就是二面角a-l-β的平面角且OC=2，Rt△OAC中設(shè)OA=x，AC=y，利用勾股定理和等積轉(zhuǎn)換，列出關(guān)于x、y的方程組．結(jié)合二面角a-l-β是銳二面角，解出半徑R=OA=

3

，利用球的體積公式即可算出本題答案．

解答：解：設(shè)O、A、B三點(diǎn)確定的平面交棱l于點(diǎn)C，連接AC、CB、OC
則∠ACB就是二面角a-l-β的平面角，OC長即為點(diǎn)O到棱l的距離，OC=2
設(shè)OA=x，AC=y，則Rt△OAC中，

OC= x2+y2 =2 xy= 1 2 ×AB×OC= 3

解之得x=

3

，y=1或x=1，y=

3

∵二面角a-l-β是銳二面角，
∴當(dāng)x=

3

，y=1時(shí)，∠ACB=120°不符合題意；當(dāng)x=1，y=

3

時(shí)，∠ACB=60°符合題意
因此球0的半徑R=OA=1，得球0的體積為V=

4

3

•π•13=

4π

3

故選：D

點(diǎn)評：本題給出銳二面角的內(nèi)切球，在已知切點(diǎn)之間的距離和球心到棱的距離情況下求球的體積．著重考查球的體積積公式和解直角三角形的知識(shí)，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．