Question

【題目】已知集合是滿足下列性質的函數的全體：存在實數，對于定義域內的任意，均有成立，稱數對為函數的“伴隨數對”.

（1）判斷函數是否屬于集合，并說明理由；

（2）試證明：假設為定義在上的函數，且，若其“伴隨數對”滿足，求證：恒成立；

（3）若函數，求滿足條件的函數的所有“伴隨數對”.

Answer 1

【答案】（1）；見解析（2）見解析；（3），，

【解析】

（1）根據題意利用恒成立，直接解出；（2）把替換成，根據成立，得出結論；（3），利用三角函數化簡得到對任意的都成立，所以，根據題意推出，再求出結論．

解：（1）由及，

可得，即為對成立，

需滿足條件，解得，，因，存在，所以．

（2）證明：由，對于定義域內的任意，均有成立，

所以把替換成，成立，即，因為，所以，

所以，由的任意性及其存在，所以恒成立．

（3）由，得，

展開得，

所以，

即對任意的都成立，所以，

即，由于（當且僅當時，等號成立），

所以，又因為，故．

當時，，；

當時，，．

故函數的“伴隨數對”為和，．