Question

若（x-1）ⁿ的展開式中只有第10項的二項式系數最大，
（1）求展開式中系數最大的項；
（2）設（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求a₀+a₂+a₄+…+a_n．

Answer 1

分析：（1）利用條件展開式中只有第10項的二項式系數最大，先求出n=18，然后求展開式中系數最大的項；
（2）利用賦值法分別令x=1和x=-1，即可求出a₀+a₂+a₄+…+a_n的值．

解答：解：（1）∵（x-1）ⁿ的展開式中只有第10項的二項式系數最大，
∴n=18．
設第r+1項的系數最大，則Tr+1=

C

r 18

x18-r•(-1)r，
∴r為偶數，且C

r 18

最大，
即r=8或10．
即展開式中系數最大的項為第9項和第11項的系數最大．
∴T10=

C

9 18

x10，T 11=

C

10 18

x8．
（2）令x=1，則a₀+a₁+a₂+…+a₁₈=1，
令x=-1，則a₀-a₁+a₂-…+a₁₈=[（a₀+a₂+a₄+…+a₁₈）-（a₁+a₃+a₅+…+a₁₇）]=（-3）¹⁸=3¹⁸，
∴兩式相加得：2（a₀+a₂+a₄+…+a₁₈）=3¹⁸+1．
∴a₀+a₂+a₄+…+a₁₈=

1+318

2

．
故答案為：1．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，要求熟練掌握二項式系數以及二項式定義的通項公式．利用賦值法是解決二項式定理的基本方法．