Question

設，，其中是常數，且．
（1）求函數的極值；
（2）證明：對任意正數，存在正數，使不等式成立；
（3）設，且，證明：對任意正數都有：．

Answer 1

(1) 當時，取極大值，但沒有極小值;(2)詳見解析;(3)詳見解析.

解析試題分析：(1)先求導，再討論函數的單調區間，然后寫出函數的極值；(2)通過依次構造函數、和，利用導數來研究其單調性和最值情況，從而用來比較大小，最終達到證明不等式的目的; (3)先把所要證明的不等式的左邊轉變到函數的問題，得到相關的不等式，再借助(1)中的結論得到，最后取即可證得.
試題解析：（1）∵，         1分
由得，，
∴，即，解得，       3分
故當時，；當時，；
∴當時，取極大值，但沒有極小值．       4分
（2）∵，又當時，令，則
，
故，因此原不等式化為，即，
令，則，
由得：，解得，
當時，；當時，．
故當時，取最小值，  8分
令，則．
故，即．
因此，存在正數，使原不等式成立．         10分
（3）對任意正數，存在實數使，，
則，，
原不等式，
          12分
由（1）恒成立，故，
取，即得，
即，故所證不等式成立．           14分
考點：1、導數的應用，2、函數單調性的應用，3、不等式的證明.