Question

設數列的前n項的和為S_n（n∈N₊），則關于{a_n}有下列三個命題：
①若a_n+1=a_n，則{a_n}即是等差數列，又是等比數列；
②若S_n=an²+bn（a，b∈R）?{a_n}是等差數列；
③若S_n=1-（-1）ⁿ，則{a_n}是等比數列．
則正確的命題是

 

．

Answer 1

考點：等差關系的確定,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：對于①，直接據反例進行判斷；對于②和③，利用數列中a_n與S_n的關系式求出數列的通項，由等差數列和等比數列的定義加以驗證．

解答： 解：對于①、如：數列0、0、0、…，是等差數列但不是等比數列，則①不正確；
對于②、由S_n=an²+bn，（a，b∈R），當n=1時，a₁=S₁=a+b，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=an²+bn-[a（n-1）²+b（n-1）]=2an-a+b．
當n=1時a₁適合上式．
∴a_n=2an-a+b．滿足a_n+1-a_n=2a為常數，則{a_n}是等差數列，
當{a_n}是等差數列時，S_n=na1+

n(n-1)

2

d=

d

2

n2+(a1-

d

2

)n，
即為S_n=an²+bn（a，b∈R）形式，成立，則②正確；
對于③、若S_n=1-（-1）ⁿ，當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=1-（-1）ⁿ-[1-（-1）^n-1]=（-1）ⁿ⁺¹+（-1）^n-1，
當n為奇數時，a_n=2．當n為偶數時，a_n=-2．
所以{a_n}是等比數列，則③正確；
故答案為：②③．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，差數列和等比數列的定義，以及數列中a_n與S_n的關系式應用，解答的關鍵在于對基礎知識的理解與掌握．