Question

為保護環境，發展低碳經濟，某單位在國家科研部門的支持下進行技術攻關，新上了把二氧化碳處理轉化為一種可利用的化工產品的項目，經測算，該項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500]

，
（1）寫出每噸的平均處理成本S與月處理量x（噸）之間的函數關系式；
（2）該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？并求出該最小值．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,分段函數的應用

專題：應用題,不等式的解法及應用

分析：（1）利用項目月處理成本y（元）與月處理量x（噸）之間的函數關系可近似地表示為y=

1 3 x3-80x2+5040x，x∈[120，144) 1 2 x2-200x+80000，x∈[144，500]

，即可得出結論；
（2）分段討論，①當x∈[120，144）時，S=

1

3

x2-80x+5040，求出S的最小值；②當x∈[144，500]時，利用基本不等式求出S的最小值；比較得每月處理量為多少噸時，能使每噸的平均處理成本最低．

解答： 解：（1）由題意可知二氧化碳每噸的處理成本為S=

1 3 x2-80x +5040，x∈[120，144) 1 2 x-200+ 80000 x ，x∈[144，500]

（2）當x∈[120，144），S=

1

3

x2-80x+5040，
∴x=120時，S取得最小值240；
當x∈[144，500]，S=

1

2

x+

80000

x

-200≥2

1 2 x• 80000 x

-200=200
當且僅當

1

2

x=

80000

x

，即x=400時，S有最小值200；
綜上，當每月的處理量為400噸時，每噸的平均處理成本最低為200元．

點評：本題考查了分段函數模型的應用題目，并且考查了求二次函數的最值，利用基本不等式求函數的最值等問題，是中檔題．