Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,過點(diǎn)做軸的垂線交橢圓于兩點(diǎn),且.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若為橢圓短軸的上頂點(diǎn)，直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為，問：直線是否過定點(diǎn)？若是，求出這個(gè)定點(diǎn)，否則說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）過定點(diǎn)（2，-1）

【解析】

（1）根據(jù)題意，分析可得c的值，進(jìn)而分析可得，由橢圓的幾何性質(zhì)分析可得a、b的值，代入橢圓的方程即可得答案；

（2）對直線斜率分類討論，當(dāng)斜率存在時(shí)，利用韋達(dá)定理表示斜率和為，得到變量間的關(guān)系，即可得到結(jié)果．

解：(1)由題意可知，

令，代入橢圓可得，

又，

兩式聯(lián)立解得：，

；

(2)①當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，

，

得，此時(shí)過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足題意.

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，

，

聯(lián)立，

整理得， ，

，

，，此時(shí)，存在使得成立．

∴直線的方程為，即，

當(dāng)，時(shí)，上式恒成立，

所以過定點(diǎn)．