Question

【題目】四棱臺被過點的平面截去一部分后得到如圖所示的幾何體，其下底面四邊形是邊長為2的菱形，，平面，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若與底面所成角的正切值為2，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）詳見解析；（II）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）易證，，進而可得平面，從而證得；

（Ⅱ）與底面所成角為，從而可得，設,交于點，以為坐標原點建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量求解二面角即可.

試題解析：

（Ⅰ）∵平面，∴.

在菱形中，，

又，∴平面，

∵平面，∴平面平面.

（Ⅱ）∵平面

∴與底面所成角為，∴，∴

設,交于點，以為坐標原點，如圖建立空間直角坐標系.

則，，,.

，

同理，

，，

.

設平面的法向量，

∴則，

設平面的法向量，

則，

設二面角為，.