Question

【題目】已知向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ）， =（﹣1，0）．
（1）求向量 的長度的最大值；
（2）設(shè)α= ，且 ⊥（ ），求cosβ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解： =（cosβ﹣1，sinβ），則

| |2=（cosβ﹣1）2+sin2β=2（1﹣cosβ）．

∵﹣1≤cosβ≤1，

∴0≤| |2≤4，即0≤| |≤2．

當(dāng)cosβ=﹣1時，有|b+c|=2，

所以向量 的長度的最大值為2．

（2）解：由（1）可得 =（cosβ﹣1，sinβ），

（ ）=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos（α﹣β）﹣cosα．

∵ ⊥（ ），

∴ （ ）=0，即cos（α﹣β）=cosα．

由α= ，得cos（ ﹣β）=cos ，

即β﹣ =2kπ± （k∈Z），

∴β=2kπ+ 或β=2kπ，k∈Z，于是cosβ=0或cosβ=1

【解析】（1）利用向量的運算法則求出 ，利用向量模的平方等于向量的平方求出| |的平方，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系將其化簡，利用三角函數(shù)的有界性求出最值．（2）利用向量垂直的充要條件列出方程，利用兩角差的余弦公式化簡得到的等式，求出值．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系的相關(guān)知識，掌握若平面的法向量為，平面的法向量為，要證，只需證，即證;即：兩平面垂直兩平面的法向量垂直．