Question

【題目】在圓x2+y2=9上任取一點P，過點P作y軸的垂線段PD，D為垂足，當P為圓與y軸交點時，P與D重合，動點M滿足 =2 ；
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）拋物線C′的頂點在坐標原點，并以曲線C在y軸正半軸上的頂點為焦點，直線y=x+3與拋物線C′交于A、B兩點，求線段AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設M（x，y），由PD⊥y軸于點D，可設P（x0，y），D（0，y）

由 =2 得（x，0）=2（x0﹣x，0），

∴x=2（x0﹣x），即x0= x

∵動點P在圓x2+y2=9上

∴

∴ =9，即 =1

∴動點M的軌跡C的方程為 =1

（2）

解：曲線C在y軸正半軸上的頂點為（0，3），由已知可設拋物線方程為x2=2py（p＞0）

∵焦點坐標為（0，3），∴ =3，即p=6

∴拋物線C′的方程為x2=12y

直線y=x+3與拋物線C′交于A，B兩點，A（x1，y1），B（x2，y2），

方程聯立：y2﹣18y+9=0

∵直線y=x+3經過拋物線焦點F（0，3），

∴|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+p=18+6=24

【解析】（1）利用代入法，求點M的軌跡C的方程；（2）求出拋物線C′的方程，方程聯立，利用拋物線的定義，即可求線段AB的長．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．