Question

【題目】如圖，C、D是離心率為的橢圓的左、右頂點(diǎn)，、是該橢圓的左、右焦點(diǎn)， A、B是直線4上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD和BD，它們分別與橢圓交于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，且線段EF恰好過橢圓的左焦點(diǎn). 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見證明

【解析】

（Ⅰ）由題意可得，結(jié)合可求出，進(jìn)而可求得橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），與橢圓聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理得，，又設(shè)，由三點(diǎn)共線得，，求出中點(diǎn)坐標(biāo)，求出點(diǎn)M到直線EF的距離，進(jìn)而證得結(jié)果.

（Ⅰ）∵當(dāng)時(shí)，點(diǎn)E恰為線段AD的中點(diǎn)，

∴，又，聯(lián)立解得：，，，

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），

聯(lián)立得：

∴，

∴……（*）

又設(shè)，由A、E、D三點(diǎn)共線得，同理可得.

，

∴.

設(shè)AB中點(diǎn)為M，則M坐標(biāo)為（）即（ ），

∴點(diǎn)M到直線EF的距離.

故以AB為直徑的圓始終與直線EF相切.