Question

【題目】設函數f（x）=|2x+1|+|x﹣a|，a∈R． （Ⅰ）當a=2時，求不等式f（x）＜4的解集．
（Ⅱ）當a＜ 時，對于x∈（﹣∞，﹣ ]，都有f（x）+x≥3成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）令|2x+1|=0，解得x=﹣ ，令|x﹣2|=0，解得x=2． 當x≥2時，原不等式化為：2x+1+x﹣2＜4，解得x ，此時無解；
當 ＜x＜2時，原不等式化為：2x+1+2﹣x＜4，解得x＜1，可得 ＜x＜1；
當 時，原不等式化為：﹣2x﹣1+2﹣x＜4，解得x＞﹣1，可得﹣1＜x≤ ．
綜上可得：原不等式的解集為{x|﹣1＜x＜1}；（2）令g（x）=f（x）+x，當x≤ 時，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a ，
可得g（x）= ，對于x∈ ，
使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈ ，
作出g（x）的圖象，可得：[g（x）]min=g（a）=﹣a﹣1，
∴﹣a﹣1≥3，可得a≤﹣4．

【解析】（1））令|2x+1|=0，解得x=﹣ ，令|x﹣2|=0，解得x=2．對x分類討論即可得出．（2）令g（x）=f（x）+x，當x≤ 時，g（x）=|x﹣a|﹣x﹣1，由a ，可得g（x）= ，對于x∈ ，使得f（x）+x≥3恒成立．只需[g（x）]min≥3，x∈ ，利用圖象，即可得出．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．