Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，，平面，點在棱上.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）

【解析】

（1）根據已知條件及正弦定理求得,即可知,即,再由,可證明平面,進而由平面與平面垂直的判定定理證明平面平面;

（2）作,連接,根據線段關系可求得的三邊長,由余弦定理求得,進而由同角三角函數關系式求得,即可求得.根據等體積法,即可求得點到平面的距離,即可由線面夾角的求法求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明: 四棱錐中,,,,

由正弦定理可得,代入可得

所以

所以

則

所以

因為四棱錐中,平面

所以,且

所以平面

由因為平面

由平面與平面垂直的判定定理可得平面平面

（2）作,連接,如下圖所示:

在四棱錐中,,,

由,可知

由平面,可得平面

因為,所以平面

可得

所以,則四邊形為矩形.

所以,

由（1）可得

由平面,可得

所以

則在中,,,

由余弦定理可知

代入可得

所以由同角三角函數關系式可得

所以

設點到平面的距離為

由

則

所以

設直線與平面所成角為,

則直線與平面所成角的正弦值