Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=mx2﹣2mx+m﹣1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)為A，B．
（1）求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．
①當(dāng)m=1時(shí)，求線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
②若拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=mx2﹣2mx+m﹣1=m（x﹣1）2﹣1，

∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，﹣1）．

（2）

解：①∵m=1，

∴拋物線為y=x2﹣2x，

令y=0，得x=0或2，不妨設(shè)A（0，0），B（2，0），

∴線段AB上整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)．

②如圖所示，拋物線在點(diǎn)A，B之間的部分與線段AB所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有6個(gè)整點(diǎn)，

∴點(diǎn)A在（﹣1，0）與（﹣2，0）之間（包括（﹣1，0）），

當(dāng)拋物線經(jīng)過（﹣1，0）時(shí)，m= ，

當(dāng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣2，0）時(shí)，m= ，

∴m的取值范圍為 ＜m≤ ．

【解析】（1）利用配方法即可解決問題；
　　　　（2）①m=1代入拋物線解析式，求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決問題．②根據(jù)題意判斷出點(diǎn)A的位置，利用待定系數(shù)法確定m的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的相關(guān)知識(shí)，掌握一元二次方程的解是其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．