Question

【題目】請先閱讀：
在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的兩邊求導，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求導法則，得（﹣sin2x）2=4cosx（﹣sinx），化簡得等式：sin2x=2cosxsinx．
（1）利用上題的想法（或其他方法），結合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整數n≥2），證明： ．
（2）對于正整數n≥3，求證：
（i） ；
（ii） ；
（iii） ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn兩邊對x求導得n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1

移項得 （*）

（2）

證明：（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得

所以

（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3

兩邊對x求導，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+32Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2

在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+32Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2

即 ，

亦即 （1）

又由（i）知 （2）

由（1）+（2）得

（iii）將等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn兩邊在[0，1]上對x積分

由微積分基本定理，得

所以

【解析】（1）對二項式定理的展開式兩邊求導數，移項得到恒等式．（2）（i）對（1）中的x 賦值﹣1，整理得到恒等式．（ii）對二項式的定理的兩邊對x求導數，再對得到的等式對x兩邊求導數，給x賦值﹣1化簡即得證．（iii）對二項式定理的兩邊求定積分；利用微積分基本定理求出兩邊的值，得到要證的等式．
【考點精析】本題主要考查了二項式定理的通項公式和類比推理的相關知識點，需要掌握二項式通項公式:；根據兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質的推理,叫做類比推理才能正確解答此題．