Question

【題目】已知函數f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣ sin2x﹣1，若f（ ）= ﹣ ．
（1）求a的值，并寫出函數f（x）的最小正周期（不需證明）；
（2）是否存在正整數k，使得函數f（x）在區間[0，kπ]內恰有2017個零點？若存在，求出k的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=a（|sinx|+|cosx|）﹣ sin2x﹣1，

∵f（ ）= ﹣ ．

∴a（sin +cos ）﹣ sin ﹣1= ﹣ ．

解得：a=1，

函數f（x）的最小正周期T=π

（2）解：存在n=504，滿足題意：

理由如下：

當 時， ，

設t=sinx+cosx，則 ，sin2x=t2﹣1，

則 ， 可得 t=1或 ，

由t=sinx+cosx圖象可知，x在 上有4個零點滿足題意．

當 時， ，t=sinx﹣cosx，

則 ，sin2x=1﹣t2，

， ，t=1或 ，

∵ ，

∴x在 上不存在零點．

綜上討論知：函數f（x）在[0，π）上有4個零點，而2017=4×504+1，

此函數在[0，504π]有2017個零點，所以存在正整數k=504滿足題意．

【解析】（1）根據f（ ）= ﹣ 帶入即可求解a的值．因為|sinx|、|cosx|、sin2x的周期是都π，故得函數f（x）的最小正周期．（2）令k=1，討論[0，π]內存在的零點情況，從而討論是否存在k內恰有2017個零點即可．