Question

關于函數f(x)=

(x-3)e-x，x≥0 2ax-3，x＜0

（a為常數，且a＞0），對于下列命題：
①函數f（x）在每一點處都連續；
②若a=2，則函數f（x）在x=0處可導；
③函數f（x）在R上存在反函數；
④函數f（x）有最大值

1

e4

；
⑤對任意的實數x₁＞x₂≥0，恒有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①只需說明在點x=0處連續，只需說明在x=0時，兩段都有意義且函數值相等；
②只需說明在x=0時，兩段導函數都有意義且函數值相等；
③只需說明函數f（x）在R上不是單調函數，用導數來證；
④求導，判斷f（x）的單調性，從而求出極大值，也就是最大值；
⑤已知函數在R上先增后減，所以f（x）的圖象在[0，+∞）上是上凸的，所以任取兩點連線應在圖象的下方，故⑤錯誤．

解答：解：①x=0時，（0-3）e⁰=-3，x=0時，2ax-3有意義，且2ax-3=-3，
∴函數f（x）在x=0處都連續，即函數f（x）在每一點處都連續；
∴①正確
②f′（x）=

e-x(4-x)  x≥0 2a         x＜0

（a＞0），
x=0時，e⁰（4-0）=4，令2a=4得a=2，
∴a=2，函數f（x）在x=0處可導；
∴②正確
③令f′（x）＞0，得x＜4，令f′（x）＜0，得x＞4，
∴f（x）在（-∞，4]上是增函數，在[4，+∞）上是減函數，
∴函數f（x）在R上不存在反函數；
∴③錯誤
④令f′（x）=0，得x=4，x＜4時，f′（x）＞0，x＞4時，f′（x）＜0，
∴x=4時，f（x）有最大值為f（4）=e^-4=

1

e4

；
∴④正確
⑤在函數f（x）[0，+∞）上任取兩點（x₁，f（x₁））（x₂，f（x₂））
∵f（x）的圖象在[0，+∞）上是上凸的，所以兩點連線應在圖象的下方，
∴f（

x1+x2

2

）＞

f(x1) +f(x2)

2

∴⑤錯誤．
故答案為①②④

點評：連續就是函數圖象不間斷，在x=0可導就是導函數在兩段導函數都有意義且函數值相等，函數在某一區間上不單調，就不會有導函數，利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值，結合函數圖象，知上凸的函數圖象，任取兩點，兩點連線應在圖象的下方，過兩點中點作x軸的垂線，與圖象的交點在上，交點縱坐標為f（

x1+x2

2

），與線段的交點在下，交點縱坐標為

f(x1) +f(x2)

2

．