Question

【題目】設(shè)函數(shù)（，，，）的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，且函數(shù)為偶函數(shù)．若函數(shù)滿足下列條件：①；②對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立．

（1）求函數(shù)的表達(dá)式；

（2）設(shè)函數(shù)（）的兩個(gè)極值點(diǎn)，（）恰為的零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）借助題設(shè)條件運(yùn)用導(dǎo)數(shù)及二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)求解；（2）借助題設(shè)構(gòu)設(shè)函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí)探求.

試題解析：

（1）由已知可得，

∵函數(shù)為偶函數(shù)，

∴，

即恒成立，

所以．

又，∴，，

又∵對(duì)一切實(shí)數(shù)，不等式恒成立，

∴恒成立，

∴

∴，∴．

（2）由（1）得，，

∴（），，

由題意得

又，

∴，解得，

∵，（）為的零點(diǎn)，

∴，，

兩式相減得，，

又，從而，

設(shè)（），

則（）記為，

，

∴在上單調(diào)遞減，

∴，

故的最小值為．