Question

【題目】已知函數，其中常數．

（1）當，求函數的單調遞增區間；

（2）設定義在上的函數在點處的切線方程為，若在內恒成立，則稱為函數的“類對稱點”，當時，試問是否存在“類對稱點”，若存在，請至少求出一個“類對稱點”的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先求得定義域求導得，由于，所以增區間為；（2）當時，，利用導數求得切線，兩式相減得，利用導數求得以當時，存在“類對稱點”.

試題解析：

（1）函數的定義域為，∵，∴，∵，∴，令，即，∵，∴或，

所以函數的單調遞增區間是；

（2）當時，，

∴，，

令，

則，

，當時，在上單調遞減．

∴當時，，

從而有時，，

當時，在上單調遞減，

∴當時，，

從而有時，，

∴當時，不存在“類對稱點”．

當時，，

∴在上是增函數，故，

所以當時，存在“類對稱點”．